３点を通る二次関数の式を求める方法

高校の数１で出てくる
「３点を通る二次関数の式を求める」問題
教科書的には

ｙ＝aｘ²＋ｂｘ＋C
に代入して
３元連立方程式を解く方法
が一番ポピュラーです
出てくる数値は整数ばかりなので
この方法ができれば別段問題ないですが
今日は
ちょっと、別の見方で
解いてみたいと思います。

変化の割合

二次関数なので
変化の割合は
二次の係数に依存します
それと、
頂点のx座標が、整数のときと
１．５とか間にキタときでちょっと変わってきます
表にすると
画像のようになります。
なお
「ｂ」
は、
「ｘの係数」
です

（－１，８）（０，３）（１，０）の場合

１、３つの点をかいていきます
２、放物線の概形をかきます
３、点から点の変化の割合をかきます
４、表から、その変化をしているところを探します
今回は、
５→３
と変化しています
表を見ると
ｘ²の欄が当てはまります
よって、
ｙ＝ｘ²＋□ｘ＋３
となります
定数項が３と分かるのは
（０，３）
を通っているからです
後は
□を求めるだけです
（１，０）を代入して
ｙ＝ｘ²ー４ｘ＋３
と求めることができました

（－２，６）（１，０）（２、－１０）の場合

概形がどっちかわかりません
表で変化の割合が「１０」があるところを探します
２ｘ²のところにありました
とすると
１０→６→２で頂点にくることが判ります
どっちの概形が当てはまるかというと
上の概形ではまだ頂点がきてないので
当てはまりません
よって、
下の概形がアタリとなります
後は、
ｘ＝０のときのｙの値を求めれば
定数項が分かります
今回は
６
ということが判りました
上に凸なので
ｙ＝－２ｘ²＋□ｘ＋６
となります
そして、さっき同様、１点を代入して
□を求めて終了です
（１，０）を代入して
□＝－４
ｙ＝－２ｘ²ー４ｘ＋６
と求まりました

（２，３）（３，１）（４、－３）の場合

変化の割合は
４→２
となっています
表を探すと
ｘ²で、ｘの係数が奇数の場合のところにありました
詳しくみると
４→２→１/４（ここが頂点）→２→４
と変化していくことになります
グラフをかき進んでいくと
画像のようになります
ｘ＝０のときにｙ＝１となることが判りました
上に凸だから
ｙ＝－ｘ²＋□ｘ＋１
となります
（２，３）か（３，１）か（４、－３）を代入して
□を求めます
□＝３
よって
ｙ＝－ｘ²＋３ｘ＋１
と求まりました

まとめ

変化の割合は
二次関数である限り
限定される
という点を基に求めてみました

図形的に考える視点も持てると
視野が広がりますね