3点を通る二次関数の式を求める方法

高校の数1で出てくる
「3点を通る二次関数の式を求める」問題
教科書的には

y=ax²+bx+C
に代入して
3元連立方程式を解く方法
が一番ポピュラーです
出てくる数値は整数ばかりなので
この方法ができれば別段問題ないですが
今日は
ちょっと、別の見方で
解いてみたいと思います。

変化の割合

二次関数なので
変化の割合は
二次の係数に依存します
それと、
頂点のx座標が、整数のときと
1.5とか間にキタときでちょっと変わってきます
表にすると
画像のようになります。
なお
「b」
は、
「xの係数」
です

(-1,8)(0,3)(1,0)の場合

1、3つの点をかいていきます
2、放物線の概形をかきます
3、点から点の変化の割合をかきます
4、表から、その変化をしているところを探します
今回は、
5→3
と変化しています
表を見ると
x²の欄が当てはまります
よって、
y=x²+□x+3
となります
定数項が3と分かるのは
(0,3)
を通っているからです
後は
□を求めるだけです
(1,0)を代入して
y=x²ー4x+3
と求めることができました

(-2,6)(1,0)(2、-10)の場合

概形がどっちかわかりません
表で変化の割合が「10」があるところを探します
2x²のところにありました
とすると
10→6→2で頂点にくることが判ります
どっちの概形が当てはまるかというと
上の概形ではまだ頂点がきてないので
当てはまりません
よって、
下の概形がアタリとなります
後は、
x=0のときのyの値を求めれば
定数項が分かります
今回は

ということが判りました
上に凸なので
y=-2x²+□x+6
となります
そして、さっき同様、1点を代入して
□を求めて終了です
(1,0)を代入して
□=-4
y=-2x²ー4x+6
と求まりました

(2,3)(3,1)(4、-3)の場合

変化の割合は
4→2
となっています
表を探すと
x²で、xの係数が奇数の場合のところにありました
詳しくみると
4→2→1/4(ここが頂点)→2→4
と変化していくことになります
グラフをかき進んでいくと
画像のようになります
x=0のときにy=1となることが判りました
上に凸だから
y=-x²+□x+1
となります
(2,3)か(3,1)か(4、-3)を代入して
□を求めます
□=3
よって
y=-x²+3x+1
と求まりました

まとめ

変化の割合は
二次関数である限り
限定される
という点を基に求めてみました

図形的に考える視点も持てると
視野が広がりますね

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